λημνίσκος

Η καμπύλη που χαρακτηρίζεται από το ότι το γινόμενο των αποστάσεων κάθε σημείου της από δύο ορισμένα σταθερά σημεία είναι επίσης σταθερό. Έστω xΟy ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς στο επίπεδο και δύο σταθερά σημεία του, τα F₁ = (-α, 0), F₂ = (α, 0), α > 0. Τότε, η προηγούμενη καμπύλη χαρακτηρίζεται από την εξίσωση [(x + α)² + y²][(x – α)² + y²] = c⁴ (όπου c² το σταθερό γινόμενο των αποστάσεων που προαναφέρθηκαν). Τα σημεία F₁, F₂ ονομάζονται εστίες της καμπύλης. Στην ειδική περίπτωση c² = α², η προηγούμενη εξίσωση γίνεται (x² + y²) – 2α²(x² – y²) = 0 και η αντίστοιχη καμπύλη είναι γνωστή με το όνομα λ. του Μπερνούλι. Το σημείο (0,0) αποτελεί το μοναδικό διπλό σημείο της καμπύλης αυτής. Οι εφαπτόμενές της σε αυτό είναι οι ευθείες με εξισώσεις y = x, y = –x (οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων). Ο λ. του Μπερνούλι εμφανίζει ενδιαφέρουσες ιδιότητες, από τις οποίες αξίζει να αναφερθούν οι εξής δύο: 1) το εμβαδόν του μέρους του επιπέδου που περικλείεται από τον λ. του Μπερνούλι είναι α²· 2) η προβολή της ακτίνας καμπυλότητας σε ένα οποιοδήποτε σημείο του λ. του Μπερνούλι (διαφορετικό του 0) επάνω στην πολική ακτίνα τουσημείου αυτού ισούται με το 1/3 της πολικής αυτής ακτίνας. Με την ονομασία λ. είναι γνωστές και μερικές άλλες καμπύλες: 1) Ο σφαιρικός λ. (ή ιπποπέδη του Ευδόξου): η καμπύλη αυτή είναι η τομή σφαίρας x² + y² + z² = α² (γίνεται λόγος για ένα ορθοκανονικό σύστημα Oxyz) και κυλινδρικής επιφάνειας (z – β)² + y² = (α – β)², όπου 0 < β < α (η κυλινδρική αυτή επιφάνεια εφάπτεται εσωτερικώς με τη σφαίρα). Αν, ειδικά, είναι β = –α, τότε η καμπύλη είναι γνωστή με την ονομασία καμπύλη του Βιβιάνι. 2) Ο ελλειπτικός λ. Η εξίσωσή του (σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς) είναι (x² + y²)² = α²y² + β²x². Η καμπύλη αυτή είναι η αντίστροφη της έλλειψης με κέντρο αποστροφής το Ο και δύναμη αντιστροφής Μ = αβ. 3) Ο υπερβολικός λ. H εξίσωση είναι (σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς) (x² + y²)² = β²x²– α²y². H καμπύλη αυτή είναι η αντίστροφη της υπερβολής με κέντρο αποστροφής το Ο και δύναμη αντιστροφής Μ = αβ. Η καμπύλη αυτή στην ειδική περίπτωση β = α μετατρέπεται σε έναν λ. του Μπερνούλι.

* * *

ο (AM λημνίσκος) [Λήμνος]

1. στενή ταινία από μαλλί η οποία έμοιαζε με επιμήκη διακοσμητικό φιόγκο και δενόταν συνήθως στα νικητήρια στεφάνια και στους κλάδους που έδιναν στους νικητές

2. (στην παλαιογραφία) σημείο που αποτελείται από παύλα μεταξύ μιας άνω και μιας κάτω στιγμής

νεοελλ.

1. αντικείμενο που μοιάζει με επιμήκη φιόγκο

2. ανατ. δέσμη νευρικών ινών που εξασφαλίζουν κεντρομόλες συνδέσεις στο εγκεφαλικό στέλεχος (α. «έσω λημνίσκος» β. «έξω λημνίσκος»)

3. μαθ. είδος αλγεβρικής καμπύλης

4. (ορυκτ.) εικόνα την οποία παρέχει πλακίδιο διάξονα διπλοθλαστικού κρυστάλλου, όταν κοπεί κάθετα προς την οξεία διχοτόμο τών οπτικών αξόνων και εξεταστεί σε πολωτικό μικροσκόπιο με συγκλίνον φως

αρχ.

1. ταινία με την οποία έδεναν τα μαλλιά

2. βρόχος, θηλιά, με την οποία έπιαναν τα πουλιά από τα πόδια

3. χειρουργικός επίδεσμος.

[ΕΤΥΜΟΛ. < παράγωγο τού τοπων. Λήμνος (πρβλ. Αμύκλες: αμυκλάδες «παπούτσια που κατασκευάζονταν στις Αμύκλες τής Λακωνικής»)].